Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1）平行于OM的直线l在y轴上的截

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1）平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m的取值范围；（Ⅲ）设直线MA、MB的斜率分别为k 1 ，k 2 ，求证k 1 +k 2 =0．

Answer 1

（1）设椭圆方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 则 a=2b 4 a 2 + 1 b 2 =1 解得a 2 =8，b 2 =2 ∴椭圆方程为 x 2 8 + y 2 2 1 （2）∵直线l平行与OM，且在一轴上的截距为m，由k OM = 1 2 ∴l的方程为y= 1 2 x+m 由直线方程与椭圆方程联立消去y得x 2 +2mx+2m 2 -4=0 ∵直线l与椭圆交与A，B两个不同点 ∴△=（2m） 2 -4（2m 2 -4）＞0 解得-2＜m＜2，且m≠0 （3）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ） 由x 2 +2mx+2m 2 -4=0可得 x 1 +x 2 =-2m，x 1 x 2 =2m 2 -4 则k 1 = y 1 -1 x 1 -2 ，k 2 = y 2 -1 x   2   -2 而k 1 +k 2 = y 1 -1 x 1 -2 + y 2 -1 x   2   -2 = ( 1 2 x 1 +m-1)( x 2 -2)+( 1 2 x 2 +m-1)( x 1 -2)  ( x 1 -2)( x 2 -2) = 2 m 2 -4+(m-2)(-2m)-4(m-1) ( x 1 -2)( x 2 -2) =0 ∴k 1 +k 2 =0， 故得证．