Question

已知函数f（x）=ax3+bx2-2x在x=-2和x=1处取得极值（1）求函数的解析式； （2）求函数在[-...

已知函数f（x）=ax3+bx2-2x在x=-2和x=1处取得极值（1）求函数的解析式； （2）求函数在[-2，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

（1）∵f（x）=ax³+bx²-2x，
∴f′（x）=3ax²+2bx-2；
由题意知f′（-2）=0，f′（1）=0，
∴

3a×4?4b?2＝0 3a+2b?2＝0

；
解得a=

1

3

，b=

1

2

；
∴f（x）=

1

3

x³+

1

2

x²-2x；
（2）由（1）可得，最值应在x=-2，1，2中取得
∵f（-2）=

1

3

×（-2）³+

1

2

×（-2）²-2×（-2）=

10

3

，
f（1）=

1

3

×1³+

1

2

×1²-2×1=-

7

6

，
f（2）=

1

3

×2³+

1

2

×2²-2×2=

2

3

，
∴函数f（x）在[-2，2]上的最大值为

10

3

，最小值为-

7

6

．