Question

设函数f（x）=ln（x+a）+x2（Ⅰ）若当x=-1时，f（x）取得极值，求a的值，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若

设函数f（x）=ln（x+a）+x2（Ⅰ）若当x=-1时，f（x）取得极值，求a的值，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于lne2．

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)＝

1

x+a

+2x，
依题意有f'（-1）=0，故a＝

3

2

．
从而f′(x)＝

2x2+3x+1

x+ 3 2

＝

(2x+1)(x+1)

x+ 3 2

．
f（x）的定义域为(?

3

2

，+∞)，当?

3

2

＜x＜?1时，f'（x）＞0；
当?1＜x＜?

1

2

时，f'（x）＜0；
当x＞?

1

2

时，f'（x）＞0．
从而，f（x）分别在区间(?

3

2

，?1)，(?

1

2

，+∞)单调增加，在区间(?1，?

1

2

)单调减少．

（Ⅱ）f（x）的定义域为（-a，+∞），f′(x)＝

2x2+2ax+1

x+a

．
方程2x²+2ax+1=0的判别式△=4a²-8．
（ⅰ）若△＜0，即?

2

＜a＜

2

，在f（x）的定义域内f'（x）＞0，故f（x）无极值．
（ⅱ）若△=0，则a?

2

或a＝?

2

．
若a＝

2

，x∈(?

2

，+∞)，f′(x)＝

( 2 x?1)2

x+ 2

．
当x＝

2

2

时，f'（x）=0，
当x∈(?

2

，

2

2

)∪(

2

2

，+∞)时，f'（x）＞0，所以f（x）无极值．
若a＝?

2

，x∈(

2

，+∞)，f′(x)＝

( 2 x?1)2

x? 2

＞0，f（x）也无极值．
（ⅲ）若△＞0，即a＞

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