Question

设A={1,2,3,4}，在A×A上定义二元关系R

设A={1,2,3,4}，在A×A上定义二元关系R，∀<u,v>,<x,y>∈A×A，<u,v>R<x,y>等价于u+y=x+v
①证明R是A×A上的等价关系
②确定由R引起的对A×A的划分
要详细过程

Answer 1

(1)证明:
因为 ∀ ∈A×A => x+y=y+x => ∈R
所以 R是自反的
∀ ∈A×A ,
R => x+v=y+u => R
所以 R是对称的
∀ ∈A×A ,
R ∧ R => x+v=y+u ∧u+n=v+m
=> x+v+u+n=y+u+v+m => x+n=y+m => R ∧
所以 R是传递的
(2)
划分{
{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>},
{<1,2>,<2,3>,<3,4>},{<1,3>,<2,4>},
{<1,4>,<4,1>},{<3,1>,<4,2>},
{<2,1>,<3,2>,<4,3>}
}

Answer 2

解：R是自反的：因为<x，y>R<x，y>⇔x+y=x+y
R是对称的：因为<u，v>R<X，y>时一定有<x，y>R<u,v>；
R是可传递的：假设<x，y>R<u，v>和<u，v>R<l，m>来证明<x，y>R<l，m>；
因为x+v=y+u及u+m=v+l两式两边相加得x+v+u+m=y+u+v+l整理得x+m=y+l问题得证。
即R是等价关系。
现在来求由此等价关系导致的划分：为此先求AXA
AXA={<1，1>，<1，2>，<1，3>,<1，4>
<2，1>，<2，2>，<2，3>,<2，4>
<3，1>，<3，2>，<3，3>,<3，4>
<4，1>，<4，2>，<4，3>,<4，4>}
C={{<1，1>，<2，2>，<3，3>,<4，4>}，{<1，2>，<2，3>，<3，4>}，
{<2，1>，<3，2>，<4，3>}，{<1，3>，<2，4>}，
{<3，1>，<4，2>，<1，4>，<4，1>}}

Answer 3

<u,v>R<x,y>等价于u+y=x+v则x+v=u+y即<x,y>R<u,v>，R对称；x+y=x+y即<x,y>R<x,y>，R自反；<u,v>R<x,y>，<x,y>R<a,b>则u+y=x+v，x+b=a+y两式相加得u+y+x+b=x+v+a+y得u+b=a+v即<u,v>R<a,b>，R传递；综上R等价
R确定的AxA上的一个划分{{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>},{<1,2>,<2,3>,<3,4>},{<2,1>,<3,2>,<4,3>},{<1,3>,<2,4>},{<3,1>,<4,2>},{<4,1>},{<1,4>}}

Answer 4

证明: " <x,y> ∈ A×A => x+y=y+x => <x,y> ∈ R
∴R是自反的
" <x,y> <u,v> ∈ A×A ,
<x,y> R<u,v> => x+v=y+u => <y,x> R<v,u>
∴R是对称的
" <x,y> <u,v> ,<m,n>∈ A×A ,
<x,y> R<u,v> ∧ <u,v> R<m,n> => x+v=y+u ∧ u+n=v+m
=> x+v+u+n=y+u+v+m => x+n=y+m => <x,y> R ∧<m,n> ∴R是传递的