Question

对满足t 2 +s 2 =1的一切实数t，s，不等式（m+2）t+2（2s 2 -1）＞t（2s 2 -1）+t 2 +2m恒成立，求实数m

对满足t 2 +s 2 =1的一切实数t，s，不等式（m+2）t+2（2s 2 -1）＞t（2s 2 -1）+t 2 +2m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

∵t 2 +S 2 =1， ∴t 2 =1-s 2 ， ∵t 2 ≤1， ∴-1≤t≤1， ∵（m+2）t+2（2s 2 -1）＞t（2s 2 -1）+t 2 +2m， ∴mt+2t+2（2S 2 -1）＞t（2S 2 -1）+t 2 +2m， ∴mt-2m＞（t-2）（2s 2 -1）+t 2 -2t， ∴m（t-2）＞（t-2）（2s 2 -1）+t（t-2）， ∵-1≤t≤1， ∴t-2＜0， ∴m＜2s 2 -1+t， ∵s 2 =1-t 2 ， ∴m＜2-2t 2 +t-1， 即：m＜-2t 2 +t+1， 由二次函数得：当t= 1 4 时，-2t 2 +t+1最大值为 9 8 ， 当t=1时，-2t 2 +t+1=0， 当t=-1时，-2t 2 +t+1=-2， ∴-2t 2 +t+1的最小值为-2， ∴m＜-2． ∴实数m的取值范围为：m＜-2．