小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程,绘制了如图所示的平面图形.已知吊车吊臂的支点O距离地面的高O

小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程,绘制了如图所示的平面图形.已知吊车吊臂的支点O距离地面的高OO′=2米.OA=10米,当吊臂顶端由A点抬升至A′点(吊臂长度不变)... 小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程,绘制了如图所示的平面图形.已知吊车吊臂的支点O距离地面的高OO′=2米.OA=10米,当吊臂顶端由A点抬升至A′点(吊臂长度不变)时,地面B处的重物(大小忽略不计)被吊至B′处,紧绷着的吊缆A′B′=AB.且cosA=35,sinA′=12.(1)求此重物在水平方向移动的距离及在竖直方向移动的距离;(2)若这台吊车工作时吊杆最大水平旋转角度为120°,吊杆与水平线的倾角可以从30°转到60°,求吊车工作时,工作人员不能站立的区域的面积. 展开
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(1)过点O作OD⊥AB于点D,交A′C于点E
根据题意可知EC=DB=OO′=2,ED=BC
∴∠A′ED=∠ADO=90°.
在Rt△AOD中,∵cosA=
AD
OA
=
3
5

OA=10,
∴AD=6,
∴OD=8,在Rt△A′OE中,
∵sinA′=
OE
OA′
=
1
2

OA′=10
∴OE=5.
∴BC=ED=OD-OE=8-5=3.
在Rt△A′OE中,
A′E=
 AO 2?OE2 

∴B′C=A′C-A′B′
=A′E+CE-AB
=A′E+CE-(AD+BD)
=5
3
+2-(6+2)
=5
3
-6
答:此重物在水平方向移动的距离BC是3米,此重物在竖直方向移动的距离B′C是(5
3
-6)米;
(2)当水平距离为吊杆与水平线的倾角为30°时,即吊车工作时工作人员不能站立的区域的半径,
在Rt△AOD中,OD=OA?cos30°=10×cos30°=5
3

∵这台吊车工作时吊杆最大水平旋转角度为120°,
∴工作人员不能站立的区域的面积为:
120
360
×π×(5
3
2<
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