Question

（2010?宿迁）如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连接CD交A

（2010?宿迁）如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连接CD交AB于点E．求证：（1）PD=PE；（2）PE2=PA?PB．

Answer 1

证明：（1）连接OC、OD，（1分）
∵C是半圆ACB的中点
∴∠COA=∠COB
∵∠COA+∠COB=180°
∴∠COA=∠COB=90°
∴OD⊥PD，OC⊥AB．
∴∠PDE=90°-∠ODE，
∠PED=∠CEO=90°-∠C，
又∵OC=OD，
∴∠C=∠ODE，
∴∠PDE=∠PED．（4分）
∴PE=PD．（5分）

（2）连接AD、BD，（6分）
∴∠ADB=90°．
∵∠BDP=90°-∠ODB，∠A=90°-∠OBD，
又∵∠OBD=∠ODB，∴∠BDP=∠A，
∵∠P=∠P，
∴△PDB∽△PAD．（8分）
∴

PD

PB

=

PA

PD

，∴PD²=PA?PB．
∴PE²=PA?PB．（10分）