Question

设函数y（x）（x≥0）二阶可导，且y′（x）＞0，y（0）=1，过曲线y=y（x）上任意一点P（x，y）作该曲线的

设函数y（x）（x≥0）二阶可导，且y′（x）＞0，y（0）=1，过曲线y=y（x）上任意一点P（x，y）作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y（x）为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1-S2恒为1，求此曲线y=y（x）的方程．

Answer 1

解：先画出坐标系，如上图所示．
则y=y（x）过P（x，y）的切线方程：
Y-y（x）=y′（x）（X-x），它与x轴的交点为：（x-

y

y′

，0）；
又y′（x）＞0，且y（0）=1，
因此y（x）＞0 （x＞0）．
所以S1＝

1

2

y|x?(x?

y

y′

)|=

y2

2y′

；
又因为S₂=

∫

x 0

y（t）dt；
根据2S₁-S₂=1，得：

y2

y′

?

∫

x 0

y（t）dt=1    ①
 则x=0，有y′（0）=1
对①式两端求导，得：
（y′）²=yy″；
令y′=p，则有
yp

dp

dy

＝p2；
分离变量得：

dp

p

＝

dy

y

；
解得p=C₁y，
即

dy

dx

=C₁y，解得：
y=eC1x+C2；
又因为y（0）=1，y′（0）=1，代入得：
C₁=1，C₂=0；
故所求曲线方程为：
y=e^x．

Answer 2

一定有人这地方算错来百度找答案把........

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示