设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y′(x)>0,y(0)=1,过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的
设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y′(x)>0,y(0)=1,过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积...
设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y′(x)>0,y(0)=1,过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1-S2恒为1,求此曲线y=y(x)的方程.
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解:先画出坐标系,如上图所示.
则y=y(x)过P(x,y)的切线方程:
Y-y(x)=y′(x)(X-x),它与x轴的交点为:(x-
y |
y′ |
又y′(x)>0,且y(0)=1,
因此y(x)>0 (x>0).
所以S1=
1 |
2 |
y |
y′ |
y2 |
2y′ |
又因为S2=
∫ | x 0 |
根据2S1-S2=1,得:
y2 |
y′ |
∫ | x 0 |
则x=0,有y′(0)=1
对①式两端求导,得:
(y′)2=yy″;
令y′=p,则有
yp
dp |
dy |
分离变量得:
dp |
p |
dy |
y |
解得p=C1y,
即
dy |
dx |
y=eC1x+C2;
又因为y(0)=1,y′(0)=1,代入得:
C1=1,C2=0;
故所求曲线方程为:
y=ex.
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