Question

已知函数f（x）=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，且其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．（1）求f（x）

已知函数f（x）=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，且其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．（1）求f（x）的解析式（含字母c）；（2）求函数的极大值与极小值的差．

Answer 1

（1）∵函数y=x³+3ax²+3bx+c，
∴y'=3x²+6ax+3b，
∵函数y=x³+3ax²+3bx+c在x=2处有极值，
∴当x=2时，y′=0，即12+12a+3b=0，①
∵函数图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行，
∴k=y′|_x=1=3+6a+3b=-3，②
联立①②，解得a=-1，b=0，
∴y=x³-3x²+c，．
（2）由（1）可知，y'=3x²-6x，
令y′=0，即3x²-6x=0，解得x=0，x=2，
∵函数在（-∞，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴函数在x=0时取得极大值c，在x=2时取得极小值c-4，
∴函数的极大值与极小值的差为c-（c-4）=4．