Question

如图在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，点M、N分别是BC、PA的中点，且PA=AB=2

如图在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，点M、N分别是BC、PA的中点，且PA=AB=2（1）证明：平面PBC⊥平面AMN；（2）在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

解答：证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，即NA⊥BC，
又∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形
∵M为BC中点
∴AM⊥BC
又∵AM∩NA=A
∴BC⊥平面AMN
∵BC?平面PBC
∴平面PBC⊥平面AMN；
解：（2）（III）存在点E，
取PD中点E，连接NE，EC，AE，
∵N，E分别为PA，PD中点，
∴NE∥AD，且NE=

1

2

AD，
又在菱形ABCD中，CM∥AD，CM=

1

2

AD，
∴NE∥CM，且NE=CMMC，即MCEN是平行四边形
∴NM∥EC，
又EC?平面ACE，NM?平面ACE
∴MN∥平面ACE，
即在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE，
此时PE=

1

2

PD=

2

．