Question

如图，在平面直角坐标系中，点A为二次函数y=-x2+4x-1图象的顶点，图象与y轴交于点C，过点A并与AC垂直的直

如图，在平面直角坐标系中，点A为二次函数y=-x2+4x-1图象的顶点，图象与y轴交于点C，过点A并与AC垂直的直线记为BD，点B、D分别为直线与y轴和 x轴的交点，点E 是二次函数图象上与点C关于对称轴对称的点，将一块三角板的直角顶点放在A点，绕点A旋转，三角板的两直角边分别与线段OD和线段OB相交于点P、Q两点．（1）点A的坐标为______，点C的坐标为______．（2）求直线BD的表达式．（3）在三角板旋转过程中，平面上是否存在点R，使得以D、E、P、R为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出P、Q、R的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

（1）y=-x²+4x-1图象的顶点
x=-

b

2a

＝?

4

2×(?1)

=2，y=

4ac?b2

4a

＝

4×(?1)×(?1)?42

4×(?1)

=3，
∴点A的坐标为（2，3），
当x=0时，y=-1，
∴点C的坐标为（0，-1）；
（2）直线AC的解析式是y=2x-1，
过点A并与AC垂直的直线记为BD，
k BD＝?

1

2

，
∴直线BD的表达式为：y＝?

1

2

x+4；
（3）存在．
菱形DERP时，P₁（8-

17

，0），Q₁（0，

?3+2 17

3

），R₁（4-

17

，-1）；
菱形DREP时，P₂（

47

8

，0），Q₂（0，

5

12

），R₂（，

49

8

，-1）．