Question

已知等腰三角形腰上的中线长为3，则该三角形的面积的最大值是______

已知等腰三角形腰上的中线长为3，则该三角形的面积的最大值是______．

Answer 1

解答：解：根据题意画出图形，如图所示：
设AB=AC=2a，由D是AB的中点，得到AD=DB=a，
在△ADC中，根据余弦定理得：cosA=

a2+4a2-3

2×a×2a

=

5a2-3

4a2

，解得a²=

3

5-4cosA

，
设△ADC的面积为S，
则S=

1

2

a?2a?sinA=a²sinA=

3sinA

5-4cosA

  ①，
．下研究求面积的最值
法一：求导得：S′=

3cosA(5-4cosA)-12sin2A

(5-4cosA)2

=

15cosA-12

(5-4cosA)2

，令S′=0，解得cosA=

4

5

，
当cosA＜

4

5

时，S′＞0，S单调递增；当cosA＞

4

5

时，S′＜0，S单调递减，
所以S在cosA=

4

5

处取极大值，且极大值为最大值，此时sinA=

3

5

，
所以S的最大值为

3× 3 5

5-4× 4 5

=1，
则△ABC的面积的最大值是2S=2．
法二：①式变形为5S-4ScosA=3sinA，可得5S=3sinA+4ScosA=

9+16S2

sin（A+θ），其中tanθ=

4S

3

故有5S≤

9+16S2

，
解得S≤1，
则△ABC的面积的最大值是2S=2
故答案为：2．