Question

在一个圆中，一条弦是另一条弦的两倍，那么它们的弧和圆心角有什么关系

要理由 别只一个答案 像这个图

Answer 1

根据余弦定理
cos∠COD=(r^2+r^2-CD^2)/2r^2=(2r^2-CD^2)/2r^2=1-CD^2/2r^2
cos∠AOB=(r^2+r^2-AB^2)/2r^2=(2r^2-AB^2)/2r^2=1-AB^2/2r^2
因为CD=2AB
所以CD^2=4AB^2
(1-cos∠COD)*2r^2=4*(1-cos∠AOB)*2r^2
(1-cos∠COD)/(1-cos∠AOB)=4
[2sin^2(∠COD/2)]/[2sin^2(∠AOB/2)]=4
sin(∠COD/2)=2*sin(∠AOB/2)
因为CD弧=∠COD*r，AB弧=∠AOB*r
所以sin(CD弧/2r)=2*sin(AB弧/2r)
综上所述，若长弦是短弦的两倍，则：
（1）长弦对应的圆周角的正弦值，等于短弦对应的圆周角的正弦值的两倍
（2）长弦对应的劣弧与直径的商的正弦值，等于短弦对应的劣弧与直径的商的正弦值的两倍