高数中值定理中怎么构造辅助函数

用逆推法接下去怎么做... 用逆推法 接下去怎么做 展开
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03011956
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知道大有可为答主
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图片中的方法是求f(x)。
解决本题是需要求一个函数F(x)满足罗尔定理
并且F的导数是f(x)+xf ' (x)。
F(x)=xf(x)就是。
百度网友c085806
2019-02-19 · TA获得超过1787个赞
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此题并非逆推法,而是根据表达式直接积分构造。

f(x)+xf'(x)积分后变为xf(x)+c,因此可以直接构造F(x)=xf(x)并利用罗尔中值定理求解。

由题,F(x)=xf(x)在[0,a]上连续,在(0,a)上可导,且F(0)=F(a)=0,符合罗尔中值定理的应用条件,由此可以得到存在t∈(0,a),使得F'(t)=f(t)+tf'(t)=0,结论得证。

扩展资料:

罗尔定理描述如下:

如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件:

1、在闭区间 [a,b] 上连续;

2、在开区间 (a,b) 内可导;

3、f(a)=f(b);

则至少存在一个 ξ∈(a,b),使得 f'(ξ)=0。

其证明如下:

因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续,所以存在最大值与最小值,分别用 M 和 m 表示,分两种情况讨论:

1、若 M=m,则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数,结论显然成立。

2、若 M>m,则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得,从而ξ是f(x)的极值点,又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得,f(x) 在 ξ 处取得极值,由费马引理推知:f'(ξ)=0。

罗尔定理的几何意义:

若连续曲线y=f(x) 在区间 [a,b] 上所对应的弧段 AB,除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线,且在弧的两个端点 A,B 处的纵坐标相等,则在弧 AB 上至少有一点 C,使曲线在C点处的切线平行于 x 轴。

参考资料来源:百度百科-罗尔中值定理

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ZHKIRAAAA
2018-06-24
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构造函数F(x)=f(x)x
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