Question

研究函数的连续性

Answer 1

解：
首先化简函数，然后求连续性！
f(x)=xlim(n→∞) (1-x^2n)/(1+x^2n)
根据指数特性，先求得该极限！
1）
|x|<1时：
当n→∞时，x^2n→0
因此：
f(x)=x
2）
|x|>1时：x^2n→+∞
lim(n→∞) (1-x^2n)/(1+x^2n)
=lim(n→∞) (1/x^2n - 1 )/(1/x^2n+1)
=-1
因此：
f(x)=-x
3)
当|x|=1时，x^2n=1，则：
lim(n→∞) (1-x^2n)/(1+x^2n)
=0
因此：
f(x)=0
综上：
f(x) =
x |x|<1
0 |x|=1
-x |x|>1
该函数是分段函数，主要考察在分界点处该函数的连续性，因此：
考察x=-1,1处函数的连续性
在x=-1处：
lim(x→-1+)f(x)=lim(x→-1+) x =-1
lim(x→-1-)f(x)=lim(x→-1-) -x =1
∴x=-1是该函数的跳跃间断点
在x=1处：
lim(x→1+)f(x)=lim(x→1+) -x =-1
lim(x→1-)f(x)=lim(x→1-) x =1
∴x=1是该函数的跳跃间断点