Question

若f（x）是二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）–f（x）=2x，求f（x）.

Answer 1

解：
设二次函数f(x)的解析式为f(x)=ax²+bx+c，(a≠0)
f(0)=1，x=0，f(x)=1代入函数方程，得：
0+0+c=1
c=1
f(x)=ax²+bx+1
f(x+1)-f(x)=2x
a(x+1)²+b(x+1)+1-(ax²+bx+1)=2x
整理，得：(2a-2)x+a+b=0
要对任意x，等式恒成立，只有
2a-2=0，a+b=0
解得a=1，b=-1
f(x)=1·x²+(-1)x+1=x²-x+1
函数解析式为f(x)=x²-x+1

Answer 2

既然已知是二次函数
就用待定系数法
设：f(x)=ax^2+bx+c
所以 f(x+1)-f(x)=a(x+1)^2+b(x+1)-ax^2-bx=2ax+a+b=2x
利用对应系数相等
有2a=2，a+b=0, 得a=1，b=-1，再利用f(0)=1算出c=1
所以 f(x)=x^2-x+1