Question

如图,圆O是RT△ABC的外接圆,∠ACB=90°,E是BC上的一点，连接AE与OC交于D，∠CAE=∠CBA

（1）求证：AE⊥OC（2）若圆O的半径为5,AE长为6，求AD长？请过程详细，有图 谢谢

Answer 1

(1)∵OC=OB
∴∠OCB=∠CBA=∠CAE
∴⊿ACE∽⊿CDE
∴CD⊥AE
(2) AC²=AD*AE(射影定理）
∵∠CBA=∠CAE
∴Rt⊿ACE∽Rt⊿BCA
AC/AE=CB/AB
AC²/AE²= CB²/AB²=(AC²+CB²)/(AE²+AB²)
AC²=AE²(AC²+CB²)/(AE²+AB²)=36×100/136
∴AD=AC²/AE=36×100/(136×6)=75/17

Answer 2

（1）证明：延长AE交⊙O于点F。
∵∠CAE=∠CBA，
∴弧AC=弧CF,
∴AE⊥OC
(2) ∵∠CAE=∠CBA，∠ACE=∠BCA
∴ △AEC∽△BAC，
∴ AE∶BA=AC∶BC
∵AE=6, BA=2OA=10
∴ AC∶BC = 6∶10 = 3 ∶ 5
∵AE⊥OC
∴ ∠ADC = 90°
∵ ∠ACB=90°
∴ ∠ADC = ∠ACB
又∠CAE=∠CBA
∴ △ADC∽△BCA，
∴ AD∶BC=AC∶BA
∵ AC∶BC = 6∶10 = 3 ∶ 5,∠ACB=90°
∴ AC∶BC∶BA = 3 ∶5∶根号34
∵ BA = 10
∴ AD =

Answer 3

提示
1 这类题通过相似三角形对应边成比例去解决。
2 △ACE和△BAC 很容易证明相似
3 AE/AB=AC/BC,，且AE,AB已知，再根据勾股定理解出AC,BC
4 △ACD和△BAC 很容易证明相似
5 AD/BC=AC/AB——根据3的结果解出AD