Question

求该题的极限

求详细过程 感谢

Answer 1

利用等价袜孝无穷小档旦代换行好扰即可

Answer 2

只需要知道f(x)=tan(x)的泰勒展开即可，由于它是奇函数，故只有奇数次幂项，考虑到f'(0)=1，f'''(0)/3!=2/3!=1/3，因此
tan(x)=x+x^3/3+o(x^3)
又由于exp(x)~1+x
所以exp(tan(x))~exp(x+x^3/3)~1+x+x^3，exp(sin(x))~exp(x)~1+x
从而分烂耐子笑历弯为(1+x+x^3)-(1+x)=x^3
分母中cos(x)~1，而sqrt(1+x^3)-1=x^3/(1+sqrt(1+x^3))~x^3/2，于是sin(sqrt(1+x^3)-1)~sqrt(1+x^3)-1~x^3/2
最终所求极限为x^3/(x^3/2)=2
这类问题说白了就是比较高阶项的系数，因为低阶项都抵消为零了，很难求出极限。洛必达（罗必塔）法则本质上就是干这个的事的，即对0/0型分子分母不断同时求导也能算出来碰闷结果。