Question

线性代数 矩阵

线性代数 矩阵14题答案里划红线部分说“…也是A的无关特征向量”，然后直接用：P逆（A伴随＋3E）P＝（411）；那为什么第7题里组成P1的三个向量不是A的特征向量，不能用同样的道理直接得到（221），而是要通过右乘变幻后的初等矩阵求解呢？难道是P1的这三个由α123组成的向量相关吗？难道不是无关吗？

Answer 1

等式[P^(-1)]A*P=diag(2,2,1)是因为P的各列是A*的线性无关的特征向量，而P1各列尽管也是线性无关，但第二列已经不是A*的特征向量了，所以不能得出同样的等式。

追问

请问为什么α2+α3不是A伴随的特征向量？怎么判断题目里给出的新矩阵P各个组成向量是否仍是原矩阵的特征向量？

追答

同一特征值的特征向量的线性组合仍是特征向量。
不同特征值的特征向量的线性组合不是特征向量。
例如，若α2+α3是特征向量，则A(α2+α3)=k(α2+kα3)，则2α2+α3=k(α2+kα3)，即(k-2)α2+(k-1)α3=0，而α2，α3线性无关，则k-2=0且k-1=0，矛盾。

追问

你线代太棒了！这点懂了。还有个问题就是14题里划红线后面那句话“也是”为什么也是啊？“是a的那也是a伴随的”这样说应该是对的吧？他加了三个单位阵仍然是吗？

追答

一般来说，A,A^（-1），A*,A+kE,sA+kE等有相同的特征向量。可以直接用定义验证的。
例如Aα=λα，则(A+3E)α=Aα+3α=λα+3α=(λ+3)α