Question

求函数f（x,y）=x^3-2x^2+2xy+y^2+1的极值

求函数f（x,y）=x^3-2x^2+2xy+y^2+1的极值多谢

Answer 1

由
f'x=3x²-4x+2y=0
f'y=2x+2y=0
得x=0,y=0或x=2,y=-2
令A=f''xx=6x-4
B=f''xy=2
C=f''yy=2
当x=0,y=0时，AC-B²=-12<0，故(0,0)不是极值点；
当x=2,y=-2时，A=8>0，AC-B²=12>0，故(2,-2)是极小值点，极小值为f(2,-2)=-3

Answer 2

f(x,y)=x^3+y^3-2x^2-2y^2+4x
=(x^3-2x^2+4x)+(y^3-2y^2)
对x求偏导为3x^2-4x+4
对y求偏导为3y^2-4y
求极值先求一阶导数为0即
3x^2-4x+4+3y^2-4y=0
3（x-2/3）^2+3(y-2/3)^2+4/3=0
可以得
无解
所以此函数无极值