求矩阵的特征值和特征向量 20
求如图矩阵的特征值和特征向量,请高手最好在纸上用手写,罗列出计算过程,拍照发上来,如果拍照不好上传,直接回复罗列具体过程也可以。非常感谢...
求如图矩阵的特征值和特征向量,请高手最好在纸上用手写,罗列出计算过程,拍照发上来,如果拍照不好上传,直接回复罗列具体过程也可以。非常感谢
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① 求多项式方程的解det(A-λE)=0,三阶矩阵即三次代数方程,应有三个方程根,即3个特征值。
② 对于3个特征值,需要分别求3个齐次方程组。常见情况是: 1个特征值对应1个齐次方程组,1个齐次方程组对应1个自由未知量,1个自由未知量对应1个基向量( 特征向量 )。 现将特征值 λ1 代入原矩阵,得到对应齐次方程组(A-λE)X=0,求出解空间的基,记λ1对应基向量→β1。
③ 再依次将 λ2、λ3 代入原矩阵,仿照上面步骤求出解空间的基,记λ2对应基向量→β2;λ3对应基向量→β3。
④ 3个特征值对应→3个特征向量,即矩阵A可对角化,满足相似变换定理,可验证等式(P逆)AP=Λ成立。
⑤ 若λ2=λ3,就称λ2是二重根。将λ2代入原矩阵得齐次方程组,求解方程组有二种结局。第一种: 有2个自由未知量 ( 总未知量n=3,3-1=2 ),基向量=2个,∴原矩阵亦满足相似变换定理,矩阵A可对角化。第二种: 只有1个自由未知量,即基向量=1个。 2个特征值,仅一个基向量(坐标轴),必有一个特征值无对应坐标轴,这个特征值在空间无法定标。设λ2对应一个基向量,则λ3无法在线性空间确定它的位置。此时矩阵A不满足相似变换定理。∵3个特征值,只存在二个线性无关特征向量,只能建立二维坐标轴,A(βⅰ)=(λⅰ)(βi)说明每个特征值坐标必须落在特征向量坐标轴上,∴称矩阵A不可对角化。
■ 按照上述求解方法与思路,自己算一下吧。
② 对于3个特征值,需要分别求3个齐次方程组。常见情况是: 1个特征值对应1个齐次方程组,1个齐次方程组对应1个自由未知量,1个自由未知量对应1个基向量( 特征向量 )。 现将特征值 λ1 代入原矩阵,得到对应齐次方程组(A-λE)X=0,求出解空间的基,记λ1对应基向量→β1。
③ 再依次将 λ2、λ3 代入原矩阵,仿照上面步骤求出解空间的基,记λ2对应基向量→β2;λ3对应基向量→β3。
④ 3个特征值对应→3个特征向量,即矩阵A可对角化,满足相似变换定理,可验证等式(P逆)AP=Λ成立。
⑤ 若λ2=λ3,就称λ2是二重根。将λ2代入原矩阵得齐次方程组,求解方程组有二种结局。第一种: 有2个自由未知量 ( 总未知量n=3,3-1=2 ),基向量=2个,∴原矩阵亦满足相似变换定理,矩阵A可对角化。第二种: 只有1个自由未知量,即基向量=1个。 2个特征值,仅一个基向量(坐标轴),必有一个特征值无对应坐标轴,这个特征值在空间无法定标。设λ2对应一个基向量,则λ3无法在线性空间确定它的位置。此时矩阵A不满足相似变换定理。∵3个特征值,只存在二个线性无关特征向量,只能建立二维坐标轴,A(βⅰ)=(λⅰ)(βi)说明每个特征值坐标必须落在特征向量坐标轴上,∴称矩阵A不可对角化。
■ 按照上述求解方法与思路,自己算一下吧。
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