Question

求积分 根号（1+4*x^2）dx 上4下-2

Answer 1

let
x=(1/2)tanu
dx=(1/2)(secu)^2 du
x=-2, u=arctan(-4)
x=4, u=arctan(8)
∫(-2->4) √(1+4x^2) dx
=(1/2)∫(arctan(-4)->arctan8) (secu)^3 du
=(1/4)[secu.tanu +ln|secu+tanu|] |(arctan(-4)->arctan8)
=(1/4){ [8√65 +ln(√65+8) ] -[-4√17 +ln(√17-4) ] }
=(1/4) [8√65 +ln(√65+8) +4√17 -ln(√17-4) ]
consider

∫ (secu)^3 du
=∫ secu dtanu
=secu.tanu -∫ secu.(tanu)^2 du
=secu.tanu -∫ secu.[(secu)^2-1] du
2∫ (secu)^3 du =secu.tanu +∫ secu du
∫ (secu)^3 du
=(1/2)[secu.tanu +ln|secu+tanu|] +C

Answer 2

原式=(1/2){x√(1+4x^2)+(1/2)ln[2x+√(1+4x^2)]}|<-2,4>
=(1/2){4√65+2√17+（1/2）[ln(8+√65)-ln(√17-4)]}
=2√65+√17+(1/4)ln[(8+√65)((√17+4）].