Question

高中数学：抽象函数的对称问题？

已知函数f(x+a)是偶函数，则f(x)的对称轴是： 则f(2x)的对称轴是：
请写推导过程！多谢
已知函数f(2x+a)是偶函数，则f(x)的对称轴是：则f(2x)的对称轴是：
请写推导过程！多谢
Ps：巨坑问题。请大神指导！欢迎大家讨论！

Answer 1

由函数f(x+a)是偶函数可得f(-x+a)=f(x+a)，令-x+a=t，则-x=t-a，x=a-t，x+a=2a-t，从而f(t)=f(2a-t)，即f(x)=f(2a-x)，2a-x=0，x=2a，f(x)的对称轴是x=2a，

f(2x)=f(2a-2x)，2a-2x=0，x=a，f(2x)的对称轴是x=a。

追问

感谢您及时回复指导！本着讨论提高追问：

1. 您只看到一题，后题没答。两题并论有对比意义

2. 须承认：用复合函数t进行替代似乎是解决抽象函数表达式的万能法，但我发现此法的结果未必正确。值得后面仔细分析。此问一题：f(x+a)偶函数则f(x+a)=f(-x+a)，据对称公式f(x+a)=f(-x+a),f(x)关于x=a对称。另：f(x+a)是f(x)左移a，则f(x)在f(x+a)右方a单位，对称轴为x=a。

Answer 2

1、f(x+a) 是偶函数，则 f(-x+a)=f(x+a)，因此函数 f(x) 图像关于 x=a 对称。
由于 f(-2x+a)=f(2x+a)，因此 f(2x) 对称轴 x=a 。
2、f(2x+a) 是偶函数，则 f(-2x+a)=f(2x+a)，因此 f(x) 对称轴 x=a，
f(2x) 对称轴也是 x=a。

追问

多谢指导，问此题是因其有巨坑：在对称问题中使用复合函数t会产生问题：
f(x)关于x=a对称这个没有疑问，但f(2x)的对称轴一定不是x=a，应该是x=a/2。y=(x-1)²关于x=1对称，则y=(2x-1)²关于x=1/2对称。我知其然不解起所以然，故发此问。
第二题问题更多。须进一步分析。因此先放下。集中精力讨论第一题中的f(2x)的对称轴的正确解法吧。多谢

追答

嗯，是我大意了。你是正确的。
令 g(x) = f(2x)，由于 f(-x+a) = f(x+a)，因此 f(-2x+a)=f(2x+a)，
也即 f[2(-x+a/2)] = f[2(x+a/2)]，
也即是 g(-x+a/2) = g(x+a/2)，它关于 x=a/2 对称 。

追问

多谢！第一题完美。重点2题就更多矛盾之处：
“f(2x+a) 是偶函数，则 f(-2x+a)=f(2x+a)，因此 f(x) 对称轴 x=a。”如果将2x看为整体，不是说明f(2x)的对称轴为x=a吗？(虽知不对，但问题何在?)