Question

x服从标准正态分布，求x^n的期望

请问这个怎么解的，步骤详细点，谢谢。

Answer 1

分享一种解法，借用“伽玛函数Γ(α)”求解。
∵X~N(0,1)，∴其密度函数f(x)=Ae^(-x²/2)，其中A=1/√(2π)。
∴根据定义，E(X^n)=∫(-∞,∞)(x^n)f(x)dx=A∫(-∞,∞)(x^n)e^(-x²/2)dx。
∴当n为偶数，即n=2k(k为自然数)时，E(X^n)=2A∫(0,∞)(x^n)e^(-x²/2)dx。当n为奇数，即n=2k+1时，E(X^n)=0。
设x²=2t。∫(0,∞)(x^n)e^(-x²/2)dx=[2^(n/2-1/2)]∫(0,∞)[t^(n/2-1/2)]e^(-t)dt。
∴按照伽玛函数Γ(α)的定义，E(X^n)=(1/√π)[2^(n/2)]Γ(n/2+1/2)=(n-1)(n-3)*…*1。
即，当n为偶数，E(X^n)=(n-1)(n-3)*…*1；n为奇数，E(X^n)=0。
供参考。

追问

前面的系数呢？

我看gama函数不是隔一个阶乘啊，而且形式有点不对，不太符合gama函数

追答

是符合伽玛函数的定义的；经过整理，系数已经计算、合并了。