Question

不定积分题

Answer 1

这道 不定积分题，其求 不定积分的方法是用裂项法，将不定积分拆开成两个积分。则积分就积出来了。
求不定积分的过程，请见图。

Answer 2

42题，分享一种解法。设x=sinθ，∴原式=∫cosθdθ/(sinθ+cosθ)。再设I1=原式=∫cosθdθ/(sinθ+cosθ)，I2=∫sinθdθ/(sinθ+cosθ)。
∴I1+I2=∫dθ=θ+C1，I1-I2=∫(cosθ-sinθ)dθ/(sinθ+cosθ)=ln(sinθ+cosθ)+c2。
∴原式=I1=(1/2)[θ+ln(sinθ+cosθ)]+C=(1/2)[arcsinx+ln(x+√(1-x²))]+C。
44题。∵x³+1=x(x²+1)-x+1，∴原式=∫xdx/(1+x²)-∫xdx/(1+x²)²+∫dx/(1+x²)²。
而，∫xdx/(1+x²)=(1/2)ln(1+x²)+C1、∫xdx/(1+x²)²=(1/2)/(1+x²)+C2。对∫dx/(1+x²)²，设x=tanθ，∴∫dx/(1+x²)²=∫cos²θdθ=(1/2)[θ+(1/2)sin2θ]+C3=(1/2)[arctanx+x/(1+x²)]+C3,
∴原式=(1/2)[ln(1+x²)+(1+x)/(1+x²)+arctanx]+C。
供参考。