Question

高数泰勒公式题

如图，请详细一点谢谢！
会追加

Answer 1

高数泰勒公式题：此题可用莱布尼茨公式做，详细过程见图。
这道高数题，是两个函数乘积的高阶导数问题。其中，当n大于2时，x²的n阶导数为0，所以，可以用关于乘积的高阶导数公式，即莱布尼茨公式，可得。

Answer 2

sinx的泰勒展开式为：
sinx=Σ （-1）∧（n-1） ×〔x∧（2n-1）/（2n-1）!〕+ o（x∧2n）
=x - (1/3!) x^3 + (1/5!) x^5 - (1/7!)x^7+....
则f(x)=x^2sinx=x^3- (1/3!) x^5 + (1/5!) x^7 - (1/7!)x^9+....(-1)∧(n-1) [x∧(2n+1)/（2n-1）!] n=1,2,3
则显然n=1,2时。导数的表达式中仍然含有x，所以值为0
当n=2k(偶数时），导数的表达式中仍然含有x，所以值为0
f^(n)(0)= 0 n=1,2,2k（n为偶数）
当n=2k+1(奇数时），导数的表达式中只有x^(2n+1)求导后成为常数，其他的均含有x, 所以值为0
f^(n)(0)=(-1)^(n-1)*(2n+1)*2n n=2k+1 (n为奇数)

Answer 3

f(x)=x^2sinx = x^2sum(（-1）^n x^(2n+1)/(2n+1)!, n=0,1,...)
f(x)的n次导数，f（x）展开式中所有次数小于n的求导后都为0
等于n的则变为n! 乘以原来的系数
大于n的求导后还包含x，所以肯定也为0
所以当n=2k+1时，导数为(-1)^k (2k+1)!/(2k+3)!=（-1）^k/(2k+2)(2k+3)
其他是为0

Answer 4

∵x∈R时，sinx=∑[(-1)^n][x^(2n+1)](2n+1)!]，∴f(x)=x²sinx=∑[(-1)^n][x^(2n+3)](2n+1)!]=x³/1!-(x^5)/(3!)+(x^7)/(5!)+……+[(-1)^n][x^(2n+3)](2n+1)!]+……。
∴f'(0)=f"(0)=0。n≥3时，当n为偶数，即n=2k时，f(x)的n阶导函数中含x，∴[f(0](^n)=0；当n为奇数，n=2k+1时，[f(0](^n)=[(-1)^(k-1)][(2k+1)!]/(2k-1)!=[(-1)^(k-1)](2k+1)2k，其中，k=1,2，……。
供参考。

Answer 5