Question

几道常微分方程的题目求解

高手过来指教：
1.dy/dx=y^2+1/(4x^2)，求通解或特解。
第二及第三题见图片

在线等！

Answer 1

第一题
首先求特解，y1=-1/2x，这个就是观察法。。
然后设z=1/(y-y1)=1/(y+1/2x),将原来的方程置换为z与x的关系
会发现，变成了一个一次线性方程
dz/dx=z/x-1
然后就是设p=z/x，再次置换为p和x的关系，求解即可

第二题
设A(x)=(从0到x的积分)a(t)dt
这样A(0)=0,dA/dx=a(x)
然后在原不等式左边加上一项b(x)>=0，使其等于0，把b移到右边去，得
dy/dx+a(x)y=-b(x)
在两边同时乘上exp(A(x))，A(x)就是上边设的那个
那么实际上等于
d(exp(A(x))*y)/dx=-A(x)*b(x)
在两边从0到x积分，注意右边，b始终大于等于零，A是一个指数型的函数，也是大于等于零，那么右边的积分必然小于零，而左边是一个定积分
exp(A(x))*y(x)-exp(A(0))*y(0)<=0
注意A(0)=0，就得到要证的式子
exp(A)*y<=y(0)，移项即可

第三问很惭愧，我认为需要讨论函数列的收敛性，很麻烦，没有做