Question

证明：x^2+y^2-8z=6没有整数解。

Answer 1

综述：x^2 + y^2 = 6 + 8z = 2(3 + 4 z)，假设存在整数解, 等式右端为偶数, 所以 x^2+y^2为偶数, x,y 均为偶数, x=2m, y=2n，那么x^2+y^2= 4(m^2+n^2) = 2 (3+4z)，3+4z = 2(m^2+n^2)，左边奇数右边偶数矛盾。所以x^2+y^2-8z=6没有整数解。

数学：

数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。

Answer 2

证明：假设存在整数解，即存在正数a,b,c满足方程x^2+y^2-8z=6.
则：a^2+b^2=8c+6
=2(4c+3).
于是，a^2,b^2奇偶性相同。则:
a,b奇偶性相同。
（1）a,b都是偶数，于是存在整数，m,n使得：a=2m,
b=2n.
则：a^2+b^2=4m^2+4n^2
=2(4c+3).
则：2(m^2+n^2)=4c+3,
即：一个奇数等于另一个偶数，矛盾；
（2）a,b都是奇数，于是存在整数，m,n使得：a=2m-1,b=2n-1.
则：a^2+b^2=4m^2-4m+1+4n^2-4n+1
=4[m(m-1)+n(n-1)]+2
=8c+6
则：m(m-1)+n(n-1)=2c+1.
由m,m-1使相邻整数，n,n-1是相邻整数，则：m,m-1必有一个是偶数，n,n-1必有一个是偶数。于是：m(m-1)+n(n-1)是偶数，而2c+1是奇数，此等式不成立，矛盾。
综上：假设不真，方程x^2+y^2-8z=6没有整数解。

Answer 3

x^2+y^2=8z+6，假设有整数解，从两边除以8的余数来分析：
当x除以8的余数分别是0、1、2、3、4、5、6、7时，x^2除以8的余数是0、1、4、1、0、1、4、1，分析y^2类似，所以x^2+y^2除以8的余数只可能是0+0=0、1+0=1、4+0=4、1+1=2、4+4=8(0)和1+4=5，但是右边的式子除以8余6，不符合上述任意一种情况，所以整数解是不存在的