Question

如何用函数极限的定义证明

Answer 1

函数极限定义：
设函数f(x)在x0处的某一去心邻域内有定义，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正数δ，使得当
|x-xo|<δ时，|f(x)-a|<ε成立，那么称a是函数f(x)在x0处的极限。
如limx^3=27
x趋近3时的极限：
因为x趋近3，我们只考虑x＝3近旁的x值即可，不妨令|x-3|<1
2
0，总存在正数δ＝min(1，ε/37)取最小值，使得当
|x-3|<δ时，|f(x)-27|<ε成立，
故，27是函数f(x)=x^3在x=3处的极限。

Answer 2

用定义证明极限都是格式的写法，依样画葫芦就是：
　　限
|x-1/2|<1/4，有
|x-1|
>
1/2-|x-1/2|
>
1/2-1/4
=
1/4。任意给定ε>0，要使
　　　　
　|x/(x-1)-(-1)|
=
2|(x-1/2)/(x-1)|
　　　　
=
2|x-1/2|/|x-1|
<
2|x-1/2|/(1/4)
　　　　
=
8|x-1/2|
<
ε，
只须
|x-2|
<
min{ε/8,1/4}，取
δ(ε)
=
min{ε/8,1/4}
>
0，则当
0<
|x-1/2|
<
δ(ε)
时，就有
　　　　|x/(x-1)-(-1)
<=
8|x-1/2|
<
…<
ε
，
根据极限的定义，得证。