Question

在三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a,b,c成等比数列,且cosB=3/4,

Answer 1

第一题:
a,b,c成等比数列,所以a*c=b^2
根据正弦定理,a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以sinA=a/b*sinB,sinC=c/b*sinC
1/tanA+1/tanC
=cotA+cotC
=cosA/sinA+cosC/sinC
=(cosA*sinC+sinA*cosC)/sinA*sinC
=sin(A+C)/[(a/b*sinB)*(c/b*sinC)]
=sinB/[(a/b*sinB)*(c/b*sinC)]
=1/sinB
=4/(根号7)
第二题:
a,b,c成等比数列,设公比为q,
则b=a*q,c=a*q^2
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2*a*c
=(a^2+a^2*q^4-a^2*q^2)/2*a*a*q^2
=(1+q^4-q^2)/2*q^2
=3/4
化简为:2*q^4-5*q^2+2=0
解得:q=1/(根号2),或者q=根号2
向量BA点乘向量BC=a*c*cosB=a*a*q^2*cosB=3/2
将cosB和q代入,
解得:a=2,此时q=1/(根号2),c=1,a+c=3
或者a=1,此时q=根号2,c=2,a+c=3
综合以上a+c=3