Question

已知函数.求的单调区间和极值;设,,且,证明:.

已知函数. 求的单调区间和极值; 设,,且,证明:.

Answer 1

求导,在定义域内解不等式,可得单调区间,有极值点的定义可求极值;
不妨设,,即证,两边同除以得,,令,则,只证:,令,利用导数证明即可;
解:定义域为,,
令,则,;
令,则,,
的单调增区间是,单调减区间是.
,无极大值.
证明:不妨设,
,即,
,
两边同除以得,,
令,则,即证:,
令,
,
令,,
,在上单调递减,
,即,即恒成立,
在上是减函数,所以,
得证,
成立.
该题考查利用导数研究函数的单调性,极值,考查不等式的证明,考查学生的运算推理能力和转化问题的能力.