Question

椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点F1（-c，0）、F2（c...

椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点F1（-c，0）、F2（c，0），M是椭圆C上一点，且满足∠F1MF2=π3． （1）求椭圆的离心率e的取值范围；（2）设O为坐标原点，P是椭圆C上的一个动点，试求t=|PF1-PF2||OP|的取值范围．

Answer 1

解：（1）在△MF1F2中，MF12+MF22-2MF1•MF2cos∠F1MF2=4c2
即：（MF1+MF2）2-3MF1•MF2=4c2
即：4a2-3MF1•MF2=4c2，则3MF1•MF2=4a2-4c2MF1•MF2≤(MF1+MF22)2=a2，当且仅当MF1=MF2=a时，取等号
∴4a2-4c2≤3a2，即a2≤4c2
∴e2≥14即e∈[12，1)（5分）
（2）令OP=m，则m∈[b，a]（10分）
又PF1+PF2=2a
在三角形O与三角形O中分别用余弦定理表示出PF12与PF22两式相加可得：PF12+PF22=2m2+2c2
则（PF1-PF2）2=4（m2+c2-a2）
∴t=2m2+c2-a2m=21-a2-c2m2
∵m∈[b，a]，∴a2-c2a2≤a2-c2m2≤a2-c2b2
即0≤1-a2-c2m2≤c2a2，
∴t的取值范围是0≤t≤2ca． （16分）