Question

解全微分方程的方法

Answer 1

这类微分方程都具有dz=P(x,y)dx+Q(x,y)dy的形式，且满足P关于y的偏导数等于Q关于x的偏导数的特点。解答过程如下：
先由P关于y的偏导数等于Q关于x的偏导数，得出dz=P(x,y)dx+Q(x,y)dy是一个全微分方程的结论。接着得出通解是z=从（0,0）到（x，y）第二型曲线积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy。
接下来，根据该积分与积分路径无关（因为P关于y的偏导数等于Q关于x的偏导数），可以选择从点（0,0）到点（x，y）的特殊路径积分，而最常选取的是沿折线路径积分，即先从（0,0）到（0，y）、再从（0，y）到（x，y）的折线或者是先从（0,0）到（x，0）、再从（x，0）到（x，y）的折线。最后z=积分结果 就是通解。
例如：阁下这个题，假如选择（0,0）到（x，0）、再从（x，0）到（x，y）的折线积分，则通解是z=（0,0）到（x，0）积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy + （x，0）到（x，y）积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy。
在第一个积分里，y（=0）是常数，所以dy=0，结果成为定积分（从0到x）（x^2 +2x*0-0^2）dx=1/3 * x^3 +C1.
在第二个积分里，x一直没变是常数，所以dx=0，结果成为定积分（从0到y）(x^2 -2xy -y^2)dy=x^2 * y -x*y^2-1/3 * y^3 +C2.
于是，通解是z=1/3 * x^3 +x^2 * y -x*y^2-1/3 * y^3 +C.