两个圆柱面x^2+y^2=a^2与z所围成面积图片
两个圆柱面x^2+y^2=a^2与z所围成面积图片
这是柱面,就是两个圆形,公共部分围成以a为半径的球体,球体的表面积4πa²
凸面正八面体
两个圆柱分别以X Y轴为中心，半径是R。
用平行于XY平面的平面去截这个公共部分
平面到Z=0的距离是y的时候，圆柱的宽是
2√(R^2-y^2)
截面是正方形，面积是4（R^2-y^2)
所以体积是 2∫0→R [4(R^2-y^2)]dy
=8∫0→R (R^2 dy - dy^3/3)
=(16/3)R^3
求两个半径相等其轴垂直相交的圆柱面x^2+y^2=a^2与x^2+z^2=a^2所围成立体体积
从X轴看过去，图形是边长为2a正方形。由其对称性，现只计算其1/8。
因为形状比较规则因此可以不用多重积分。取平行于yz平面的任意截面，令参数h等于截面到xy平面的距离，则易由勾股定理得截面积为a^2-h^2。关于h积分在0到a范围内的截面积（即Integrate[a^2-h^2,{h,0,a}]得2/3*a^3，因此体积为16/3*a^3。
用三维设计的软件可以轻易验证以上结果是正确的。
求由圆柱面x^2+y^2=R^2，x^2+z^2=R^2所围立体的体积。
面积公式 S=1/2∫_α~βρ~2dθ
画出图形，
α~β在（0，pai/4）
求圆柱面x2+y2=R2,x2+z2=R2围成的立体体积
∫∫∫ dV=∫ dz ∫∫ dS ( z的上下限是 √(R²-x²) 和 -√(R²-x²) ；S是区域x²+y²<R² )
=∫ ∫ 2√(R²-x²) dydx ( y上下限是√(R²-x²) 和 -√(R²-x²)；x是-R到R )
=∫ 4(R²-x²) dx ( x是-R到R )
=16R³ / 3
求采纳。
求曲面积分zdS，Σ是圆柱面x^2+y^2=1，平面z=0和z=1+x所围立体的表面
圆柱面x^2+y^2=1的投影的面积0，只计算平面z=0和z=1+x即可，而平面z=0代入为0 平面z=1+x的投影：x^2+y^2<=1,z'x=1
故：∫∫zdS=∫∫(1+x)√2dxdy
=∫∫√2dxdy+∫∫x√2dxdy
=√2π
注意：奇函数x的积分=0
由圆柱面x∧2+y∧2=2ax围成的空间区域被球面x∧2+y∧2+z∧2=4a∧2所截,计算截下部分体积
V=2∫∫_D sqrt{4a^2-x^2-y^2}dxdy, 其中D: (x-a)^2+y^2<=a^2. 引入极坐标x=rcosφ, y=rsinφ, 可化为
V=2∫_{-π/2}^{π/2}dφ∫_0^{2acosφ}sqrt{4a^2-r^2}rdr=32a^3/3∫_{0}^{π/2}(1-sin^3φ)dφ=32a^3/3(π/2-2/3).
求半径相等的两个直交圆柱面x^2 y^2=r^2及x^2 +z^2=r^2所围立体的表面积
解：根据题意分析知，所求表面积是由4个表面积相等的曲面构成。
其中一个表面积S=∫∫<D>ds (z=√(r2-x2)，D：x2+y2=r2)
∵αz/αx=-x/√(r2-x2)，αz/αy=0
∴ds=√[1+(αz/αx)2+(αz/αy)2]dxdy=[r/√(r2-x2)]dxdy
则 S=∫∫<D>ds
=∫∫<D>[r/√(r2-x2)]dxdy
=4r∫<0,π/2>dθ∫<0,r>ρdρ/√(r2-ρ2cos2θ) (作极坐标变换)
=-2r∫<0,π/2>dθ∫<0,r>d(r2-ρ2cos2θ)/[cos2θ√(r2-ρ2cos2θ)]
=4r∫<0,π/2>[(r-rsinθ)/cos2θ]dθ
=4r2∫<0,π/2>(sec2θ-sinθ/cos2θ)dθ
=4r2(tanθ-secθ)│<0,π/2>
=4r2(0+1)
=4r2
故 所求表面积=4S=4(4r2)=16r2。
求锥面z=根号下x^2+y^2、圆柱面x^2+y^2=1及平面z=0所围立体体积。求解，高等数学
V =∫<0,2π>dt∫<0,1>r*rdr =2π/3.
求球面x^2+y^2+z^2=4a^2 与柱面x^2+y^2=2ay所围成的立体区域的体积
∬▒〖√((4a^2-x^2-y^2)) dxdy〗=4∫_0^(π/2)▒dθ ∫_0^(2a sinθ)▒〖√((4a^2-r^2 ) ) rdr〗=16/9 a^3 (3π-4) 计算过程省略了
