Question

已知正数列an的前n项和sn与an之间满足sn*an=1/(4^n),求an

Answer 1

当n>=2时有S(n)-S(n-1)=a(n)
所以(1/4)^n/a(n)-(1/4)^(n-1)/a(n-1)=a(n) （1）
设b(n)=2^n*a(n)则an=b(n)/2^n代入 （1）得
b^(n-1)=2b(n)/(1-b(n)^2)
设b(n-1)=tanα,根据二倍角公式（逆用）得到b(n)=tan(α/2),那么b(n+1)=tan(α/4),那么b(n+2)=tan(α/8)...
所以可以设b(n)=tan(θ/2^n)
另一方面S(1)*a(1)=a(1)^2=1/4,a(1)=1/2,b(1)=2^1*a(1)=1
b(1)=tan(θ/2)=1,所以θ=π/2
所以b(n)=tan(π/2^(n+1))
因为b(n)=2^n*a(n)
所以a(n)=b(n)/2^n=tan(π/2^(n+1))/2^n