Question

求曲面z-ez+2xy=3在点(1,2,0)处沿x方向的切线

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

：

首先，将曲面方程 z-e^z+2xy=3 对 x 求偏导数，得到：

∂z/∂x = 2y

然后，在点 (1,2,0) 处，代入 x=1 和 y=2，得到：

∂z/∂x|(1,2,0) = 2×2 = 4

接下来，需要找到在点 (1,2,0) 处沿着 x 方向的向量。因为切线方向与曲面法向量垂直，所以可以使用曲面的梯度向量 ∇f 作为法向量。因此，需要计算曲面的梯度向量：

∇f = (∂f/∂x)i + (∂f/∂y)j + (∂f/∂z)k = 2y i + 2x j - e^z k

在点 (1,2,0) 处，代入 x=1、y=2 和 z=0，得到：

∇f|(1,2,0) = 4 i + 2 j - k

因此，沿着 x 方向的单位向量为 u=i，于是切线方向为：

v = u × ∇f|(1,2,0) = i × (4 i + 2 j - k) = -2 j + k

因此，在点 (1,2,0) 处沿 x 方向的切线方程为：

x = 1 + t
y = 2
z = -2t

其中 t 是参数。