Question

二阶常系数齐次线性微分方程 通解

通解有三种情况 其中一种一直不懂 什么共轭复根 比如说这个题目：
求微分方程y-2y+5y= 0的通解.
解 所给方程的特征方程为
r2-2r+5=0
特征方程的根为r1=1+2i r2=1-2i 是一对共轭复根
因此所求通解为
y=ex(C1cos2x+C2sin2x).
帮忙解释下r1怎么会等于1+2i，r2怎么会等于1-2i谢谢！

Answer 1

y'' - 2y' + 5y = 0,

设y = e^[f(x)],则
y' = e^[f(x)]*f'(x),
y''= e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x).

0 = y'' - 2y' + 5y = e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x) - 2e^[f(x)]*f'(x) + 5e^[f(x)],
0 = [f'(x)]^2 + f''(x) - 2f'(x) + 5,

当f(x) = ax + b, a,b是常数时。
f''(x) = 0,
f'(x) = a.
0 = a^2 - 2a + 5.
2^2 - 4*5 = -16 < 0.(2^2-4*5)^(1/2)=4i.
a = [2 + 4i]/2 = 1 + 2i或a = [2-4i]/2 = 1 - 2i.

y = e^[f(x)] = e^[ax+b] = e^[(1+2i)x + b] = e^[x+b]*e^(2ix)
或
y = e^[f(x)] = e^[ax+b] = e^[(1-2i)x + b] = e^[x+b]*e^(-2ix)

因2个解都满足微分方程。所以，微分方程的实函数解为，
y = e^[x+b]*e^(2ix) + e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)+e^(-2ix)] = 2e^[x+b][cos(2x)]
或
y = e^[x+b]*e^(2ix) - e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)-e^(-2ix)] = 2e^[x+b][sin(2x)]

微分方程的实函数的通解为，
y = 2c1e^[x+b][cos(2x)] + 2c2e^[x+b][sin(2x)]
= e^x[2c1e^bcos(2x) + 2c2e^bsin(2x)]
其中，c1,c2 是任意常数。
记
C1 = 2c1e^b, C2 = 2c2e^b,
有
y = e^x[C1cos(2x) + C2sin(2x)]
C1,C2为任意常数。

这个，可能就是特征方程无实数根时，通解的由来吧~~

【俺记忆力很差，公式都记不住，全靠傻推。。
这样的坏处是费时，好处是，自己推1遍，来龙去脉就清楚1些了。
不知道，俺的傻推过程对你的疑问有点帮助没~~】

Answer 2

r是微分方程的特征值，它是通过方程r^2-2r+5=0来求出的。

将其看成一元二次方程，判别式=4-20=-16<0,说明方程没有实数根，但在复数范围内有根，根为： r1=1+2i r2=1-2i；

在复数领域中，z1=a+bi 和z2=a-bi, 及两个复数的实数部分相等，虚数部分互为相反数的复数称为共轭复数；所以本题的两个特征值符合这一关系，故谓共轭复根。

Answer 3

r^2-2r+5=0 在实数域内你能得到根么？在复数域内则可得到一对共轭复根，事实上任何实系数一元多次方程若有虚根，则虚根必共轭成对出现！

当然你可能更想知道怎么由这对共轭根得到该微分方程的通解，这问题个根据两种情况解决
1）你只是学简单地高等数学，或者搞工程技术，那么只需要记住怎么由该虚根求得微分方程通解就行了，就是记住公式，记住虚根实虚部和微分方程通解的对应关系（或称为微分方程解的结构）
2）你对求解过程非常感兴趣，或者是学专业数学的，那么你可以参考任何一本专业讲常微分方程的书籍，都能得到你的答案

Answer 4

r^2-2r+5=0
Δ=b^2-4ac=16<0
所以这个方程没有实根，而是是2个共轭复根。
复根就是用复数表示的根
复数是比实数更大范围的数， 由实部和虚部组成。
虚部有个i，i^2=－1，如设实数m，n，则复数可以表示为m+ni，m是实部，ni为虚部。
其中m+ni和m-ni是共轭关系，就是虚部是相反数，实部相等的两复数！

复根一元二次方程的解法是m=-b/2a n=(根号下|Δ|)/2a

希望您能明白

Answer 5

就是解r^2-2r+5=0这个方程
r^2-2r+1=-4
(r-1)^2=-4
所以r1=1+2i r2=1-2i
应该没有什么难理解的啊