Question

“牛吃草”问题的答案（算式，过程）

1. 有一片牧场，操每天都在匀速生长（每天的增长量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完草，如果放牧21头牛，则8天吃完草，设每头牛每天的吃草量相等，问：要使草永远吃不完，最多只能放牧几头牛？

2，有一片草地，草每天生长的速度相同。这片草地可供5头牛吃40天，或6供头牛吃30天。如果4头牛吃了30天后，又增加2头牛一起吃，这片草地还可以再吃几天？

3，假设地球上新增长资源的增长速度是一定的，照此推算，地球上的资源可供110亿人生活90年，或可供90亿人生活210年，为了人类不断繁衍，那么地球最多可以养活多少亿人？

4，一游乐场在开门前有100人排队等候，开门后每分钟来的游客是相同的，一个入口处每分钟可以放入10名游客，如果开放2个入口处20分钟就没人排队，现开放4个入口处，那么开门后多少分钟后没人排队？

Answer 1

这么多？。。。。。。
牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是∶
（1）草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；
（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`
（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
这四个公式是解决消长问题的基础。
由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。
牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。
解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。
这类问题的基本数量关系是：
1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。
2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。

“牛吃草”问题简析
华图公务员考试研究中心数量关系资料分析教研室研究员 姚璐
【华图名师姚璐例1】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头牛吃多少天？
A.3 B.4 C.5 D.6
【华图名师姚璐答案】C
【华图名师姚璐解析】设该牧场每天长草量恰可供 头牛吃一天，这片草场可供25头牛吃 天
根据核心公式：
，代入
【华图名师姚璐例2】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？
A.20 B.25 C.30 D.35
【华图名师姚璐答案】C
【华图名师姚璐解析】设该牧场每天长草量恰可供 头牛吃一天，
根据核心公式：

【华图名师姚璐例3】如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛？
A.50 B.46 C.38 D.35
【华图名师姚璐答案】D
【华图名师姚璐解析】 设每公亩牧场每天新长出来的草可供 头牛吃1天，每公亩草场原有牧草量为 ，
24天内吃尽40公亩牧场的草，需要 头牛
根据核心公式：

，因此 ，选择D
【华图名师姚璐注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量。
下面我们来看一下上述“牛吃草问题”解题方法，在真题中的应用。

【华图名师姚璐例4】有一个灌溉用的中转水池，一直开着进水管往里灌水，一段时间后，用2台抽水机排水，则用40分钟能排完；如果用4台同样的抽水机排水，则用16分钟排完。问如果计划用10分钟将水排完，需要多少台抽水机？【广东2006上】
A.5台 B.6台 C.7台 D.8台
【华图名师姚璐答案】B
【华图名师姚璐解析】设每分钟流入的水量相当于 台抽水机的排水量，共需 台抽水机
有恒等式：
解 ，得 ，代入恒等式
【华图名师姚璐例5】有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小时，如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？【北京社招2006】
A.16 B.20 C.24 D.28
【华图名师姚璐答案】C
【华图名师姚璐解析】设每分钟流入的水量相当于 台抽水机的排水量，共需 小时
有恒等式：
解 ，得 ，代入恒等式
【华图名师姚璐例6】林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变）【浙江2007】
A.2周 B.3周 C.4周 D.5周
【华图名师姚璐答案】C
【华图名师姚璐解析】设每天新生长的野果足够 只猴子吃，33只猴子共需 周吃完
有恒等式：
解 ，得 ，代入恒等式
【华图名师姚璐例7】物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻，超高如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排除了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了【浙江2006】
A.2小时 B.1.8小时 C.1.6小时 D.0.8小时
呵呵

Answer 2

1.设一头牛每天吃x的草量，牧场每天长出的草量为y,牧场原来有的草量是z
于是，
放牧24头牛，则6天吃完草，可以得到 144x=6y+z
放牧21头牛，则8天吃完草，可以得到 168x=8y+z
两式相减，得 24x=2y 即12x=y
从这个式子可得，牧场每天长的草，只够12头牛吃
综上，不管牧场原来的草量Z有多少，要是草永远吃不完，最多只能放12头牛

2.同样，设一头牛每天吃x的草量，牧场每天长出的草量为y,牧场原来有的草量是z
5头牛吃40天 可得 200x=40y+z ******* ①
6供头牛吃30天 可得 180x=30y+z
两式想减，得 20x=10y 即是 2x=y
也就是说，每天长的草够两头牛吃
4头牛吃30天，吃了 120x这么多的草
还剩余的草为 30y+z-120x
又因为每天长的草够两头牛吃
所以，在30天以后，每天长的草刚好够增加的2头牛吃
所以，可以认为，30天以后，草就不会长了
剩下的草 30y+z-120x 再让原来的4头牛吃，看能吃几天
用这些剩下的草量除以4x，
由上面的 ①式除以4X可得，30y+z除以4x等于45
所以，30y+z-120x除以4x就等于 45-30
也就是等于15

Answer 3

1.设一头牛每天吃x的草量，牧场每天长出的草量为y,牧场原来有的草量是z
于是，
放牧24头牛，则6天吃完草，可以得到 144x=6y+z
放牧21头牛，则8天吃完草，可以得到 168x=8y+z
两式相减，得 24x=2y 即12x=y
从这个式子可得，牧场每天长的草，只够12头牛吃
综上，不管牧场原来的草量Z有多少，要是草永远吃不完，最多只能放12头牛

2.同样，设一头牛每天吃x的草量，牧场每天长出的草量为y,牧场原来有的草量是z
5头牛吃40天 可得 200x=40y+z ******* ①
6供头牛吃30天 可得 180x=30y+z
两式想减，得 20x=10y 即是 2x=y
也就是说，每天长的草够两头牛吃
4头牛吃30天，吃了 120x这么多的草
还剩余的草为 30y+z-120x
又因为每天长的草够两头牛吃
所以，在30天以后，每天长的草刚好够增加的2头牛吃
所以，可以认为，30天以后，草就不会长了
剩下的草 30y+z-120x 再让原来的4头牛吃，看能吃几天
用这些剩下的草量除以4x，
由上面的 ①式除以4X可得，30y+z除以4x等于45
所以，30y+z-120x除以4x就等于 45-30
也就是等于15

最后答案就是15天

哎，做了两到题，感觉还挺复杂，有点想脑筋急转弯
我这个高材生也要想想，主要是打字太麻烦
就只帮你做两道题吧，不知道对不对，如果没有计算上的问题的话，应该是正确的

Answer 4

假设1头1天吃1个单位
24*6=144
21*8=168
168-144=24
每天长的草可供24/2=12头牛吃
最多只能放12头牛
假设1头1天吃1个单位
5*40=200；6*30=180
200-180=20
每天长的草:20/(40-30)=2
原有草：200-2*40=120
4*30=120 ，30*2=60 60/4=15天

假设1亿人头1天吃1个单位
110*90=9900；90*210=18900
18900-9900=9000
9000/(210-90)=75

2*20*10=400
400-100=300
300/20=15

100+15*4=160
160/(4*10)=4

Answer 5

假设1头1天吃1个单位
24*6=144
21*8=168
168-144=24
每天长的草可供24/2=12头牛吃
最多只能放12头牛  
假设1头1天吃1个单位
5*40=200；6*30=180
200-180=20
每天长的草:20/(40-30)=2
原有草：200-2*40=120
4*30=120  ，30*2=60    60/4=15天

假设1亿人头1天吃1个单位
110*90=9900；90*210=18900
18900-9900=9000
9000/(210-90)=75


2*20*10=400
400-100=300
300/20=15

100+15*4=160
160/(4*10)=4