Question

棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点。

1、证明：四边形AEC1F是平行四边形。
2、求AE与AF间的夹角。
3、求平行四边形AEC1F的面积。
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Answer 1

1.做AA1的中点G.因为G,E分别为AA1,DD1的中点，所以AE‖GD1,又因为GD1‖C1F,所以C1F‖AE,同理AF‖C1E,所以AEC1F是平行四边形。
2.设正方体边长为1，所以AE=AF=√5/2，EF=√2,在三角形AEF中用余弦定理求的cosEAF=1/5,所以AE与AF的夹角为arccos1/5.
3.平行四边形AEC1F的面积=两倍三角形AEF的面积。SAEF=1/2*AE*AF*sinEAF=√6/4，所以平行四边形AEC1F的面积=√6/2.