Question

急！！！初中数学竞赛题！！！（几何题）

已知E是四边形ABCD边AB上一点，AC平分∠ECD，∠BAC=∠BDC，BD与CE交于点F，求证：CD*EF+CF*EF=BF*DF

Answer 1

只要证明角平分线
三角形abc bd平分角abc 证明ab:ad=bc:cd

如果竞赛中有这个公式，我就能做出此题
如果没有，那我来证明下，作co平行与ab交bd延长线于o,<abd=<boc=<obc <odc=<adb 所以三角形odc与abd相似
ab:ad=oc:dc 有因为<boc=<obc 所以bc=co 所以ab:ad=bc:cd

下面开始解题
由<BAC=<BDC知，A,B,C,D四点共圆，设该园为T，作ce延长线交与圆T于o,连接bo,ao
因为<dca=<aco,所以圆弧ad=圆弧ao 所以<dba=<abo,所以be为三角形fob的角平分线
根据上面得出的公式，bo:oe=bf:fe 变幻下bo:bf=oe:ef
因为三角形cdf与三角形bfo相似 cd:cf=bo:bf=oe:ef
所以cd*ef=cf*eo(1)

根据相交弦定理 bf*fd=cf*fo=cf*(fe+eo)=cf*fe+cf*eo(2)
结合两式得 bf*fd=cf*fe+cd*ef

http://hi.baidu.com/sglzcolin/album/item/b11411458ec7876d510ffeee.html

Answer 2

由<BAC=<BDC知，A,B,C,D四点共圆。设AC,BD交于点G,再由<ABD=<ACD=<ACE知,B,C,G,E四点共圆。由相交弦定理得，CF*EF=BF*FG,问题此时可化为证明CD*EF=BF*DG,

Answer 3

用勾股证明