Question

第一题 数学证明题

一张m行n列棋盘,其中m和n都是奇数.为了固定记号,设左上角的方格被涂成白色.

证明:
如果切掉棋盘上的任意一个白色方格,那么剩下的棋盘可被多米诺牌完美覆盖.

Answer 1

这的确是可以的。

首先容易知道对于a*b的长方形，如果a和b有一个是偶数
那么多米诺牌是可以完美覆盖a*b的长方形。

下面考察切掉棋盘上的任意一个白色方格 把它的坐标设为（k，l）按照题意给出的染色规则，则k和l的奇偶性是相同的。

如果k和l都是奇数。
把剩余的棋盘可以分为以下四部分
所有1到k-1行的格子为第一个长方形 他是（k-1)*n的
所有k+1到m行的格子为第二个长方形 他是（m-k)*n的
第k行，1到l-1列的格子为第三个长方形 他是1*（l-1）的
第k行，l+1到n列的格子为第四个长方形 他是1*（n-l）的

因为k-1，n-k，l-1，n-l都是偶数。
所以都可以被多米诺牌完美覆盖。

如果k和l都是偶数。
把剩余的棋盘可以分为以下四部分
1到k-1行，1到l列的格子为第一个长方形 他是（k-1)*l的
1到k行，l+1到n列的格子为第二个长方形 他是k*（n-1）的
第k行到m行，1到l-1列的格子为第三个长方形 他是（m-k+1）*（l-1）的
第k+1行到m行，l到n列的格子为第四个长方形 他是（m-k）*（n-l+1）的

因为l，k，m-k+1，n-l+1 都是偶数
所以都可以被多米诺牌完美覆盖。

综上所述
切掉棋盘上的任意一个白色方格,那么剩下的棋盘可被多米诺牌完美覆盖.

Answer 2

这的确是可以的。

首先容易知道对于a*b的长方形，如果a和b有一个是偶数
那么多米诺牌是可以完美覆盖a*b的长方形。

下面考察切掉棋盘上的任意一个白色方格 把它的坐标设为（k，l）按照题意给出的染色规则，则k和l的奇偶性是相同的。

如果k和l都是奇数。
把剩余的棋盘可以分为以下四部分
所有1到k-1行的格子为第一个长方形 他是（k-1)*n的
所有k+1到m行的格子为第二个长方形 他是（m-k)*n的
第k行，1到l-1列的格子为第三个长方形 他是1*（l-1）的
第k行，l+1到n列的格子为第四个长方形 他是1*（n-l）的

因为k-1，n-k，l-1，n-l都是偶数。
所以都可以被多米诺牌完美覆盖。

如果k和l都是偶数。
把剩余的棋盘可以分为以下四部分
1到k-1行，1到l列的格子为第一个长方形 他是（k-1)*l的
1到k行，l+1到n列的格子为第二个长方形 他是k*（n-1）的
第k行到m行，1到l-1列的格子为第三个长方形 他是（m-k+1）*（l-1）的
第k+1行到m行，l到n列的格子为第四个长方形 他是（m-k）*（n-l+1）的

因为l，k，m-k+1，n-l+1 都是偶数
所以都可以被多米诺牌完美覆盖。

综上所述
切掉棋盘上的任意一个白色方格,那么剩下的棋盘可被多米诺牌完美覆盖

对了顺便问一下，你怎么想起问这个问题的

Answer 3

我要分数啊
把这M*N个格想像成一个链子，顺序为A11，A12,...A1n,A2n,A3n,...Amn,Am(n-1),A(m-1)(n-1),A(m-2)(n-1),...A2(n-1),A2(n-2),......A21,A31,...Am1
这正好是个一头一尾的链子，去掉任何一个白格，相当于打断了这个链子，变成了两条链，这两条链的长度均为偶数，然后各从头到尾依次覆盖即可

Answer 4

简单！不管是哪个白格，它的横 竖行都是偶数行，可以覆盖；其他的也可以这样了

Answer 5

把这M*N个格想像成一个链子，顺序为A11，A12,...A1n,A2n,A3n,...Amn,Am(n-1),A(m-1)(n-1),A(m-2)(n-1),...A2(n-1),A2(n-2),......A21,A31,...Am1
这正好是个一头一尾的链子，去掉任何一个白格，相当于打断了这个链子，变成了两条链，这两条链的长度均为偶数，然后各从头到尾依次覆盖即可

Answer 6

这个好像以前做过的，可惜不记得了~~