Question

在三角形ABC中，若角A:B:C=4:2:1求证1/a+1/b=1/c

需要原创的，不要复制其它的，我搜了网上的东西但是看不懂

Answer 1

这道题很有意思。
目标是证明(a+b)c=ab，想办法构造(a+b)，可利用一个知识：角平分线分对边之比为两边之比。
从C出发，以AC为对称轴做直线CB的对称直线交BA于K.
注意到角的关系立得△CKB、△CKA等腰，于是CA=CK=KB=b 而CA自然是∠BCK的平分线，利用之前的定理，AB=KB* BC/(BC+CK)
这正是c=b*a/(a+b) 立得证。

中间这个引理不知道你是否知道。这是个不太困难的命题，需要的话我可以证明给你。

追问

需要需要！大神！

追答

一个三角形被其某个角平分线分为两个三角形,当然也把对边分为两段，显然由于等高关系，这两个三角形面积之比为在对边上的分比。另一方面，每个小三角形的面积也等于大三角形的对应的一边长乘以其上的高再除以二，由于角平分线的性质，两个小三角形此时仍有相等的高，其面积比为大三角形的两条边之比。这说明此比值与分比是相同的。

如果学过三角形的正弦定理，对两个小三角形用正弦定理也是很快就能证明的。
我故意没用字母表示，锻炼一下你的逻辑能力。

Answer 2

延长ac到d,使cd=cb,则角bdc=dbc=acb/2=abc
延长bd到e,使ed=dc,则角e=bdc/2=角a,又bc=bc，故三角形ecb≌abc,ab=be=bd+de=bd+bc,bd=ab-bc=c-a
易得三角形acb∽abd,ac:bc=ab:bd,即b:a=c:(c-a),所以1/c+1/b=1/a