Question

在数列an中，a1＝1，对任意正整数n，都有（1-an+1）（2+an）=2，且an≠0。（1）求

在数列an中，a1＝1，对任意正整数n，都有（1-an+1）（2+an）=2，且an≠0。（1）求证｛（1/an)+1｝是等比数列（2）求数列｛n/an｝的前n项和

Answer 1

1、[1-a(n+1)](2+an)=2
化简得：
an-an*a(n+1)-2a(n+1)=0
an=2a(n+1)+an*a(n+1)
an+an*a(n+1)=2a(n+1)+2an*a(n+1)
an[1+a(n+1)]=2a(n+1)(1+an)
[1+a(n+1)]/a(n+1)=2(1+an)/an
1/a(n+1)+1=2(1/an+1)
而1/a1+1=2
故{1/an+1}是以2为首项，公比为2的等比数列
2、由1/an+1=2*2^(n-1)得：
1/an=2^n-1
n/an=n*2^n-n
令数列｛n/an｝的前n项和为S，则：
S=1*2-1+2*2^2-2+3*2^3-3+....+n*2^n-n
=[2+2*2^2+3*2^3+....+n*2^n]-[1+2+3+....+n]
=[2+2*2^2+3*2^3+....+n*2^n]-n*(n+1)/2
令Tn=2+2*2^2+3*2^3+....+n*2^n
则2Tn=2^2+2*2^3+3*2^4+....+n*2^(n+1)
两式相减：
-Tn=2+2^2+2^3+.....+2^n-n*2^(n+1)
-Tn=2(1-2^n)/(1-2)-n*2^(n+1)
Tn=n*2^(n+1)-2^(n+1)+2
Tn=(n-1)*2^(n+1)+2
故：
Sn=(n-1)*2^(n+1)+2-n*(n+1)/2