Question

已知矩形ABCD中， AB=2 2 ，BC=1．以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy．（1

已知矩形ABCD中， AB=2 2 ，BC=1．以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy．（1）求以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的标准方程；（2）过点P（0，2）的直线l与（1）中的椭圆交于M，N两点，是否存在直线l，使得以线段MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由题意可得点A，B，C的坐标分别为 (- 2 ，0)，( 2 ，0)，( 2 ，1) ． 设椭圆的标准方程是 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) ． 则2a=AC+BC， 即 2a= (2 2 ) 2 + 1 2 +1=4＞2 2 ，所以a=2． 所以b 2 =a 2 -c 2 =4-2=2． 所以椭圆的标准方程是 x 2 4 + y 2 2 =1 ． （2）由题意知，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y=kx+2． 由 y=kx+2 x 2 +2 y 2 =4. 得（1+2k 2 ）x 2 +8kx+4=0． 因为M，N在椭圆上， 所以△=64k 2 -16（1+2k 2 ）＞0． 设M，N两点坐标分别为（x 1 ，y 1 ），（x 2 ，y 2 ）． 则 x 1 + x 2 =- 8k 1+2 k 2 x 1 x 2 = 4 1+2 k 2 ， 若以MN为直径的圆恰好过原点，则 OM ⊥ ON ， 所以x 1 x 2 +y 1 y 2 =0， 所以，x 1 x 2 +（kx 1 +2）（kx 2 +2）=0， 即（1+k 2 ）x 1 x 2 +2k（x 1 +x 2 ）+4=0， 所以， 4(1+ k 2 ) 1+2 k 2 - 16 k 2 1+2 k 2 +4=0 ，即 8-4 k 2 1+2 k 2 =0 ， 得k 2 =2， k=± 2 经验证，此时△=48＞0． 所以直线l的方程为 y= 2 x+2 ，或 y=- 2 x+2 ． 即所求直线存在，其方程为 y=± 2 x+2 ．