Question

已知数列{an}中，a1=1，nan=a1+2a2+3a3+…+（n-1）?an-1（n≥2），则a2010=______

已知数列{an}中，a1=1，nan=a1+2a2+3a3+…+（n-1）?an-1（n≥2），则a2010=______．

Answer 1

∵na_n=a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1（n≥2），
∴（n-1）a_n-1=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-2）a_n-2（n≥3）．
两式两边分别相减，
得na_n-（n-1）a_n-1=（n-1）a_n-1（n≥3），
即na_n=2（n-1）a_n-1，
∴

an

an?1

=2×

n?1

n

（n≥3）．
又易知a₂=

1

2

，故a₂₀₁₀=a₁×

a2

a1

×

a3

a2

×

a4

a3

×…×

a2010

a2009

=2²⁰⁰⁹×

1

2

×

2

3

×…×

2009

2010

=

22009

2010

．
故答案为

22009

2010