Question

设函数f（x，y）在点P0（x0，y0）处的二阶偏导数存在，则下列结论正确的个数为（　　）①f（x，y）在点P0

设函数f（x，y）在点P0（x0，y0）处的二阶偏导数存在，则下列结论正确的个数为（　　）①f（x，y）在点P0处连续②f（x，y）在点P0处一阶偏导数连续③极限limx→x0y→y0 f（x，y）存在④f（x，y）在点P0处的一阶偏导数存在．A．1B．2C．3D．4

Answer 1

①错误：取f（x，y）=

1，y＝x≠0 x2+y2，其它

，则f（x）在P₀（0，0）处的二阶偏导数存在，均为2，但

lim

y＝x→0

f(x，y)＝1，而f（0，0）=0，故f（x，y）在P₀处不连续．
②错误：取f（x，y）同①，则f（x，y）在D={（x，y）|y=x，0＜|x|＜1}上不连续，从而f（x，y）在D上的一阶导数不存在，故

lim

y＝x→0

?f

?x

与

lim

y＝x→0

?f

?y

不存在，从而

?f

?x

与

?f

?y

在（0，0）处不连续．
③错误：取f（x，y）同①，则

lim

y＝x→0

f(x，y)＝1，

lim

y＝0， x→0

f(x，y)=

lim

x→0

x2=0，从而

lim

(x，y)→(0，0)

f(x，y)不存在．
④正确：因为f（x，y）点P₀（x₀，y₀）处的二阶偏导数存在，由二阶偏导数的定义可得，函数在点P₀（x₀，y₀）处的一阶偏导数存在．
综上，正确选项的个数为1．
故选：A．