Question

已知函数f（x）=exa?aex（a＞0）是定义在R上的奇函数．（1）求a的值；（2）设函数g（x）=1-2a2x+1，判断g

已知函数f（x）=exa?aex（a＞0）是定义在R上的奇函数．（1）求a的值；（2）设函数g（x）=1-2a2x+1，判断g（x）的单调性，并用定义证明你的结论；（3）若函数h（x）=e2x+meax（其中e=2.71828…）在x∈[0，ln4]的最小值为0，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，即

e0

a

-

a

e0

=0，
解得a=1，a=-1（舍），
（2）由（1）得：a=1，
∴g（x）=1-

2

2x+1

，是增函数，
设x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）
=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1?2x2)

(2x2+1)(2x1+1)

，
由题设可得0＜2x₁＜2x₂，
∴f（x₁）＜f（x₂），故函数f（x）在R上单调递增；
（3）由（1）得：a=1，∴h（x）=e^2x+me^x，
∴h′（x）=e^x（2e^x+m），
①m≥0时，h′（x）＞0，h（x）在[0，ln4]递增，
∴h（x）min=h（0）=1+m=0，解得：m=-1（舍）；
②m＜0时，令h′（x）=0，解得：x=ln（-

m

2

），
当0＜ln（-

m

2

）≤1即-2≤m＜0时，h（x）在[0，ln4]递增，
∴h（x）_min=h（0）=1+m=0，解得：m=-1，
当0＜ln（-

m

2

）＜ln4即-8＜m＜-2时，
h（x）在[0，ln（-

m

2

））递减，在（ln（-

m

2

），ln4]递增，
∴h（x）_min=h（ln（-

m

2

））
=e2ln(?

m

2

)+meln(?

m

2

)=(?

m

2

)2+m（-

m

2

）=0，
解得：m=0（舍），
当ln（-

m

2

）≥4即m≤-8时，h（x）在[0，ln4]递减，
∴h（x）_min=h（ln4）=e^2ln4+me^ln4=16+4m=0，
解得：m=-4（舍），
综上：m=-1．