Question

已知：如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E在斜边AB上（不包括端点），且∠DCE=45°，AB=4。

已知：如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E在斜边AB上（不包括端点），且∠DCE=45°，AB=4。 （1）在图中找出两对相似三角形，并选取一对加以说明。（2）若AE=x，BD=y，试写出x与y的函数关系式并直接写出x的取值范围。（3）试说明：线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形； （4）已知：如图②，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上（不包括端点），且∠DCE=30°，请探索当线段AD、DE、EB构成一个等腰三角形时，直接写出线段AD、DE、EB的比是多少？

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Answer 1

解：（1）△AEC∽△CED，△AEC∽△BCD。 ∵∠ACD+∠DCE=∠ACD+45° ∴∠ACE=∠BDC ∴△AEC∽△BCD。 （2）△AEC∽△BCD ∴BD·AE=AC 2 BD·AE=AC 2 =8 ∴ （2＜x＜4）。 （3）将△ABE绕点C顺时针旋转90°，设E点对应点为E″， 连接E″D ∵∠ACB=90°，AC=BC ∴旋转后B与A重合 又∵∠DCE=45° ∴∠E″CD=45° 又∵CE″=CE，CD为公共边 ∴△CE”D≌△CED ∴DE″=DE 又∵∠E″AC=45°，∠CAD=45° ∴∠E″AD=90° ∴线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形。 （4）AD：DE： EB=1： ：1。