Question

（2014?建邺区一模）已知，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，点E在BC的延长线上，且∠EAC=∠B，以DE为直径

（2014?建邺区一模）已知，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，点E在BC的延长线上，且∠EAC=∠B，以DE为直径的半圆交AD于点F，交AE于点M．（1）判断AF与DF的数量关系，并说明理由；（2）只用无刻度的直尺画出△ADE的边DE上的高AH；（3）若EF=4，DF=3，求DH的长．

Answer 1

（1）AF=DF，
理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵∠B=∠CAE，
∴∠BAD+∠B=∠CAD+∠CAE．
即∠ADE=∠DAE，
∴AE=DE，
∵DE是直径，
∴EF⊥AD，
∴AF=DF；

（2）如图：连接DM，DM交EF于G，作射线AG交DE于H，此时AH是高．

（3）由勾股定理得：AE=DE=5，
∵∠ADH=∠EDF，∠AHD=∠DFE=90°，
∴△ADH∽△EDF，
∴

DH

DF

=

AD

DE

，
∴

DH

3

=

6

5

，
∴DH=3.6．