Question

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax 2 +1。 （I）讨论函数f（x）的单调性； （Ⅱ）设a≤-2，证明：对任意x 1

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax 2 +1。 （I）讨论函数f（x）的单调性； （Ⅱ）设a≤-2，证明：对任意x 1 ，x 2 ∈（0，+∞），|f（x 1 ）-f（x 2 ）|≥4|x 1 -x 2 |。

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）的定义域为 当a≥0时， ，故f（x）在 单调增加 当a≤-1时， ，故f（x）在 单调减少 当-1<a<0时，令 ，解得 则当 时， 时， 故f（x）在 单调增加，在 单调减少； （Ⅱ）不妨假设x 1 >x 2 由于a≤-2，故f（x）在（0，+∞）单调减少 所以|f（x 1 ）-f（x 2 ）|≥4|x 1 -x 2 |等价于 f（x 2 ）-f（x 1 ）≥4x 1 -4x 2 即f（x 2 ）+4x 2 ≥f（x 1 ）+4x 1 令g（x）=f（x）+4x，则 于是 从而g（x）在（0，+∞）单调减少，故g（x 1 ）≤g（x 2 ） 即f（x 1 ）+4x 1 ≤f（x 2 ）+4x 2 故对任意x 1 ，x 2 ∈（0，+∞），|f（x 1 ）-f（x 2 ）|≥4|x 1 -x 2 |。